$x$ 에 정수를 대입해 $y$ 값을 표로 만들어보면 좌·우 대칭의 우아한 곡선이 보인다.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
$x = \pm 1$ 에서 $y = 1$, $x = \pm 2$ 에서 $y = 4$, $x = \pm 3$ 에서 $y = 9$ — $x$ 와 $-x$ 의 함숫값이 같다. $y$ 축에 대해 좌우 대칭인 곡선 — 이것이 바로 포물선(parabola)이다.
이차함수의 정의
①이차함수란
$a, b, c$ 는 상수이고, $a$ 는 반드시 0이 아니어야 한다 — $a = 0$ 이면 이차항이 사라져 일차함수($y = bx + c$)가 되기 때문.
②이차함수가 아닌 예
$y = \dfrac{1}{x^2}$ → 분수함수
$y = x^3 + x$ → 삼차함수
모두 이차함수가 아니다. $x$ 의 차수가 정확히 2이고, $x^2$ 의 계수가 0이 아닐 때만 이차함수.
$y = x^2$ 의 그래프 — 가장 단순한 포물선
그래프의 5가지 성질
모양 — 포물선
매끄러운 U자형 곡선. 직선이 아니다.
대칭축 — $y$ 축
$x = 0$ 직선에 대해 좌우 대칭.
꼭짓점 — 원점
그래프가 만나는 가장 낮은 점이 $(0, 0)$.
아래로 볼록
위로 열려 있어, 원점에서 $y$ 값이 최소.
$x$ 가 멀어질수록 $y$ 가 급격히
$y$ 값이 $x^2$ 에 비례하므로 $x$ 가 두 배되면 $y$ 는 네 배.
$y = ax^2$ — $a$ 의 부호에 따른 모양
아래로 볼록 (위로 열림)
$y$ 값이 항상 음이 아니므로 꼭짓점이 최소값. $y \geq 0$.
위로 볼록 (아래로 열림)
$y$ 값이 항상 양이 아니므로 꼭짓점이 최대값. $y \leq 0$.
$y = ax^2$ 와 $y = -ax^2$ 는 $x$ 축에 대해 대칭
같은 $|a|$ 를 가진 두 그래프 — 부호만 반대인 — 는 $x$ 축을 기준으로 위아래 거울 대칭. 예) $y = 2x^2$ 와 $y = -2x^2$.
$|a|$ 가 그래프의 폭을 결정한다
$|a|$ 가 클수록 그래프가 좁아진다
$|a|$ 가 작다 ⇒ $y$ 값이 천천히 증가 ⇒ 그래프가 넓고 완만해진다.
위 그래프에서 $y = 2x^2$ (빨강) 이 가장 좁고, $y = \frac{1}{3} x^2$ (파랑) 이 가장 넓다.
$y = ax^2$ 그래프 시뮬레이터
$a$ 값을 조절하며 그래프의 모양 변화를 관찰하라.
5문제 즉시 점검
풀이가 있는 두 예제
$y = ax^2$ 의 그래프가 점 $(2, 8)$ 을 지날 때 $a$ 의 값을 구하라.
- $x = 2, y = 8$ 대입 → $8 = a \cdot 2^2 = 4a$
- $4a = 8$ → $a = 2$
- 따라서 함수는 $y = 2x^2$
$y = -3x^2$ 의 그래프의 (1) 꼭짓점, (2) 대칭축, (3) 볼록 방향, (4) 최대·최소를 구하라.
- $a = -3 < 0$ → 위로 볼록 (아래로 열림)
- 꼭짓점 — 원점 $(0, 0)$
- 대칭축 — $y$ 축 ($x = 0$)
- 볼록 방향 — 위로 볼록
- 위로 볼록이므로 꼭짓점에서 최댓값 $0$, 최솟값은 존재하지 않음
난이도별 연습 8문제
$y = -x^2 + 3x$ 는 이차함수인가? (이차함수 / 아니다)
$y = 2x + 5$ 는 이차함수인가?
$y = 4x^2$ 그래프의 볼록 방향은? (아래로 볼록 / 위로 볼록)
$y = -\dfrac{1}{2}x^2$ 그래프의 볼록 방향은?
$y = ax^2$ 의 그래프가 점 $(1, 3)$ 을 지날 때 $a$ 의 값을 구하라.
$y = ax^2$ 의 그래프가 점 $(3, -18)$ 을 지날 때 $a$ 의 값을 구하라.
$y = 3x^2$ 와 $x$ 축에 대해 대칭인 이차함수를 구하라. (예: y=-3x^2)
$y = 3x^2$ 와 $y = \dfrac{1}{2}x^2$ 중 더 좁은 (가파른) 그래프는? (좁다 / 넓다) — 답은 $y=3x^2$ 의 폭에 대해.
포물선 — 가장 우아한 곡선
$y = ax^2$ 는 모든 포물선의 기본 모양이다. $a$ 의 부호가 열림 방향을, $|a|$ 의 크기가 폭을 결정한다. 다음 차시에서 이 기본 모양을 위·아래로, 그리고 좌·우로 평행이동시켜 더 풍부한 그래프를 만난다.